Cara Menyelesaikan Soal Persamaan Kuadrat

G: Anak-anak, hari ini saya mempunyai sesuatu yang menarik untuk kalian pecahkan
G: Apa itu Pak?
G: x2 + 2x – 8 = 0.
A: Makhluk apa itu Pak? Disuruh ngapain?
G: Sebuah persamaan. Silahkan kalian temukan nilai x!
A: Saya sudah menemukannya Pak

Cara Menyelesaikan Soal Persamaan Kuadrat


G: Bagus, sangat kreatif dan lucu
A: Hahahaha....
G: Temukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan x2 + 2x – 8 = 0.
A: Maksudnya mencari nilai x yang tepat agar ruas kiri sama dengan ruas kanan?
G: Nah, itu paham..

A: Sebentar Pak, apakah sama antara x2 dengan 2x?
G: x2 itu adalah x*x sedangkan 2x itu adalah 2*x.
A: Oh...jadi beda ya.

A: Bisakah membuat ruas kiri hanya "x" saja Pak?
G: Silahkan kamu coba
A:
x2 + 2x – 8 = 0 ~ tambahkan 8 ke ruas kiri dan ruas kanan
x2 + 2x = 8 ~ faktorkan ruas kiri
x (x + 2) = 8

G: Bagus!
A: Jadi saya harus menemukan 2 bilangan yang hasil kalinya 8 dan selisihnya 2.
G: Nah...

A: 2 * 4 = 8.
G: Cerdas kamu!
A: dan (-2) * (-4) = 8.
G: -2 dan -4 selisihnya adalah 2, sippp...
A: Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 2 atau x = -4.

G: Jenius, coba saya cek lebih dulu
untuk x=2 maka 22 + 2*2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0. Cocok!
A: Coba yang satunya lagi Pak
G: Baik. (-4)2 + 2*(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0. Wow!
A: Baguuusss...

G: Saya belum pernah menemui penyelesaian soal persamaan kuadrat sebrilian ini!
A: Apa tadi Bapak menyebutnya, persamaan kuadrat?

G: Iya. Disebut persamaan kuadrat karena ada x2 . Bentuk umumnya adalah ax2 + bx + c = 0.
A: Apa itu a, b, dan c Pak?
G: a itu menunjukkan seberapa banyak x2 yang kamu punya.
A: Jadi, yang baru saja kita selesaikan tadi adalah persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 2, and c = 8?
G: Hampir tepat. c = -8, bukan 8.
A: Oh, iya

G: a, b, dan c dalam hal ini disebut sebagai koefisien.

A: Lagi Pak, lagi. Coba persamaan kuadrat yang lain!
G: Sebentar ya, saya mau minum dulu.

Lima menit kemudian...

G: Bagaimana, sampai mana tadi?
A: Bapak turun di mana?
G: :) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 2x – 9 = 0.
A: Caranya sama dengan yang tadi Pak?
G: Iya

A: Jadi begini:
x2 + 2x – 9 = 0 ~ tambahkan 9 ke tiap ruas
x2 + 2x = 9 ~ faktorkan ruas kiri
x * (x + 2) = 9

G: Bagus, lanjuttt!
A: 2 * 4 = 8 and 3 * 5 = 15 maka nilai x lebih dekat pada 2 daripada 3.
G: Menarik ini..
A: Sekarang kalau saya coba x=2.1 maka 2.1 * 4.1 = 8.61
G: Hampir mendekati!
A: 2.2 * 4.2 = 9.24. Nah, jawabannya pasti diantara 2.1 and 2.2.

G: Excellent! Oiya, tadi di awal siapa yang bertanya bisakah mendapatkan x saja pada ruas kiri?
A: Saya pak
G: Nah, bagaimana kalau persamaan tadi, tiap ruas dibagi dengan (x + 2). Apa yang kamu dapat?

A: x = 9/(x + 2).
A: Lalu apa?
...

A: Bagaimana kalau kita gambar menggunakan GeoGebra Pak?
G: Nanti dulu ya..
A: Makanan apa itu GeoGebra?
A: Ketikkan soalnya di WolframAlpha.com kemudian enter malah lebih simpel
A: Apa itu wolfram??
A: Alamat website untuk menyelesaikan soal matematika
G: Wow, kelihatannya menarik!
G: Tapi itu besok saja. Hari ini kita harus bisa menemukan solusi dari permasalahan persamaan kuadrat tadi tanpa menggunakan kalkulator, GeoGebra, WolframAlpha ataupun excel.
A: Sudah mentok Pak.

G: Mari kita coba lagi, siapa tahu beruntung.
A: Ada cara lain yang lebih mudah Pak?

G: Idenya begini. Jadi, selain menambah, mengurangi, mengali dan membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, kita juga bisa menarik akar kuadrat.
A: Maksudnya?
G: Jika soalnya saya sederhanakan menjadi x2 = 9 dapatkah kamu menyelesaikannya?
A: 3 kuadrat sama dengan 9. Jadi nilai x=3.
G: Bagaimana dengan x=-3?
A: Oh iya. -3 kuadrat juga sama dengan 9. Jadi x = 3 atau x = -3.

G: Nah, sekarang kita beranjak ke yang sedikit lebih rumit ketimbang x2 = 9.
A: Soal yang tadi Pak,  x2 + 2x – 9 = 0.

G: Berapakah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 9?
A: Blank Pak. Bagaimana membuatnya menjadi bentuk akar?
G: Sekarang saya tanya, bagaimana dengan x2 + 2x + 1?

A: Sama saja Pak. Bagaimana menemukan angka yang pas untuk soal itu
G: Mungkin bukan angka. Coba kalau x + 1?

A: (x + 1)2 = x2 + 1.
G: Bagaimana caramu menemukannya?
A: x kuadrat sama dengan x2 dan 1 kuadrat sama dengan 1.

G: Oh. Coba sekarang kamu cek dengan mengalikan (x + 1) dengan (x + 1).
A: Baik Pak. (x + 1)(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1.
G: Apakah hasilnya sama dengan jawabanmu di awal tadi?
A: Beda Pak. Yang di awal tadi salah.
G: Sip...

A: Tapi soalnya adalah x2 + 2x -9 bukan x2 + 2x + 1!
G: Ah, tidak masalah. Bisa diakali!
A: Apa nggak dosa Pak?
G: Insya Allah halal.
A: Amiin..!

G: Jadi begini: x2 + 2x – 9 = x2 + 2x + 1 – 10 = (x + 1)2 – 10.
A: Kok jadi tambah rumit? Malah ada -10.
G: Tambahkan 10 ke tiap ruas, dan sim salabim... berubah menjadi (x + 1)2= 10.
A: Nah, saya tahu. Sekarang tarik akar kuadrat di tiap ruas!

G: Menjadi x + 1 = √10 atau x + 1 = -√10.
A: Kenapa ada -√10?
G: Apa kamu lupa dengan -3 kuadrat sama dengan 3 kuadrat?
A: Eh, iya.
G: Jadi solusi dari persamaan kuadrat tadi adalah x = √10 – 1 atau x = -√10 – 1.

A: Horee...!

G: Horee...!

A: Akhirnya selesai juga.

A: Makan-makan..

Catatan:

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat 

ax2 + bx + c = 0  (a,b,c  € R) dan a ≠ 0 

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat

1. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
2. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
3. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus ABC


1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0
Contoh
    a. x2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8) => x =  -4 atau x = -8
    b. x2  + x – 56   = 0 => (x + 8) (x – 7) => x = -8 atau x = 7
    c. x2 -6x – 27    = 0 => (x – 9) (x + 3) => x = 9 atau x = -3
    d. 2x2 – 5x – 3   = 0 => (2x – 1) (x + 3) => x =1/2 atau x = -3     
    e. 3x2 – 6x         = 0 => 3x(x – 2) => x =0 atau x = 2


2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)2 = q
Langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna yaitu :
      1.  Koefisien x2 harus 1
      2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x2 + mx = n
      3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q
   
    Contoh :
    a. x2 + 8x + 12            = 0         
        x2 + 8x                     = -12         
        x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2         
        x2   + 8x + 16          = -12 + 16                
       (x + 4)2             = 4                 
        x + 4                = ±√4                      
        x                 = -4 ± 2
        x                 = -6 , -2

3. Rumus ABC => x1,2 = { -b ± (b2 - 4ac) } / 2a
   Contoh :
    a. x2 + 8x + 5 => x1,2 = { -8 ± √(82 – 4.1.5) } / 2.1    
                                       = { -8 ± √(64 – 20) } / 2
                                       = ( -8 ± √39 ) / 2


Penjumlahan dan perkalian akar penyelesaian persamaan kuadrat
dari x1,2 = { -b ± (b2 - 4ac) } / 2a dengan D = b2 - 4ac maka x1 = (-b + D) / 2a dan x2 = (-b - D) / 2a
* D adalah Deskriminan
1. x1 + x2 = {(-b + D) / 2a} + {(-b - D) / 2a}
                    = (-b + D - b - D) / 2a
                    = -2b / 2a
                    = -b /a
Jadi, x1 + x2 = -b/a
2. x1 - x2 = {(-b + D) / 2a} - {(-b - D) / 2a}
                  = (-b + D + b + D) / 2a
                  = 2D / 2a
                  = D /a
Jadi, x1 - x2 = D/a

3. x1 . x2 = {(-b + D) / 2a} {(-b - D) / 2a}
                  = (b2 - D) / 4a2
                  = b2 - (b2 - 4ac) / 4a2
                  = (b2 - b2 + 4ac) / 4a2
                  = 4ac / 4a2
                  = c/a
Jadi, x1 . x2 = c/a
4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22
     (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22
Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2)
5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23
       (x1 + x2)3 -  3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23 
              (x1 + x2)3 -  3x1.x2(x1 + x2)  = x13 + x2
Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 -  3x1.x2(x1 + x2)
contoh soal!
1. Persamaan kuadrat -2x2 +4x-5=0 akar2nya α dan β
    Tentukan : a.  α + β                 d. α3 + β3
                        b. α . β                    e. 1/α + 1/β
                        c. α2 + β2                f. 1/(α+2) + 1/(β+2)
   Jawaban :
   a. α + β     = -b/a = 2
   b. α . β      = c/a   = 5/2
   c. α2 + β2 = (α + β)2 - 2(α . β)
                    = 22 - 2.5/2
                    = 4 - 5
                    = -1
   d. α3 + β3 = + β)3 - 3α (α )
                    = 2 - 3.5/2.2
                    = 8 - 15
                    = -7
   e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ
                        = 2 / (5/2)
                        = 4/5
   f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}
                                      = {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}
                                      = (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)
                                      = 6 / (21/2)
                                      = 12/21 
                                      = 4/7

1 Response to "Cara Menyelesaikan Soal Persamaan Kuadrat"

  1. Salam kak, post rpp matematika peminatan kelas x dong kak edisi revisi

    ReplyDelete

Manfaatkan kotak komentar di bawah postingan ini untuk feed back dan sumbang saran. Terima kasih sudah ikut berkontribusi di blog Matematrick. Salam...