Contoh Soal dan Pembahasan Bab Turunan Matematika

XII IPA SEMESTER 1

1. Diketahui turunan pertama f(x) = f¹(x) = 8x - 3 dan nilai f(2) = 4.

Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

f(x) = òf¹(x) dx

= ò8x - 3 dx

f(x) = 4x²- 3x + C

Menentukan nilai C

f(2) = 4.2²- 3.2 + C

4 = 16 – 6 + C

C = - 6

Jadi, f(x) = 4x²– 3x – 6

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu x, dan ordinat x = 5 !

Penyelesaian :

L = òf(x)

= ₀ ò⁵(4x)

= 2x²]₀⁵

= (50) – (0)

= 50 satuan luas.

3. Sebuah pesawat udara mempunyai kapasitas tidak lebih dari 48 tempat duduk dan kemampuan bagasinya 1,44 ton. Untuk menjaga keselamatan pesawat, setiap penumpang kelas utama hanya boleh membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 600.000,00 dan kelas ekonomi Rp 400.000,00. Tentukan banyaknya masing masing penumpang pada setiap kelas agar sekali terbang memperoleh pendapatan maksimum!

Penyelesaian :

Misal	Kelas	Tempat Duduk	Bagasi
x	Utama	X	60 kg
y	Ekonomi	Y	20 kg
		48	1440 kg

Jika HT utama = Rp 600.000

HT ekonomi = Rp 400.000

Maka : SPL

x + y ≤ 48

60x + 20y ≤ 1440

x ≥ 0

y ≥ 0

* x + y = 48

x	0	48
y	48	0

* 60x + 20y = 1440

3x + y = 72

x	0	24
y	72	0

Titik A = ( 24, 0 )

Titik C = ( 0, 48 )

Titik B ?

Mencari titik B

x + y = 48

3x + y = 72

-2x = -24

x = -24

-2

= 12

x + y = 48

12 + y = 48

y = 48 – 12

= 36

FO: 600.000 x + 400.000 y

A (24, 0) = 600.000 x 24 + 0 = 14.400.000

B (12, 36) = 600.000 x 12 + 400.000 x 36 = 21.600.000

C (0, 48) = 0 + 400.000 x 48 = 19.200.000

Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp 21.600.000 dengan jumlah penumpang kelas utama 12 orang dan kels ekonomi 36 orang.

4. Seorang pengembang merencanakan membangun rumah dengan dua tipe, tipe A uang muka 2 juta dan tipe B 1 juta, ia mengharapkan uang muka yang masuk paling sedikit 250 juta. Rumah yang akan dibangun paling sedikit 150 buah, biaya untuk tipe A 10 juta dan tipe B 7,5 juta. Tentukan biaya minimum yang dikeluarkan oleh pemborong tersebut!

Penyelesaian :

Misal	Rumah	UM	Jumlah
X	Tipe A	2 juta	x
Y	Tipe B	1 juta	y
		250 juta	150 juta

SPL

2x + y ≥ 250

x + y ≥ 150

x ≥ 0

y ≥ 0

FO : 10juta x + 7,5juta y

* 2x + y = 250

x	0	125
y	250	0

* x + y = 150

x	0	150
y	150	0

Titik A (125, 0)

Titik B ?

Titik C ( 0,150)

Mencari titik B

2x + y = 250

x + y =150

= 100

x + y = 150

x + 100 = 150

x = 150 – 100

x = 50

FO : 10juta x + 7,5juta y

A (125, 0) = 125.10 + 0 = 1250 juta

B ( 100, 50) = 100.10 + 50.7,5 = 1475 juta

C (0, 150) = 0 + 150.7,5 = 1125 juta

Jadi, biaya minimumnya adalah 1125 juta dengan membangun jenis tipe A sebanyak 0 dan tipe B sebanyak 150.

Diketahui matriks A = 2 3

1 -1

Tentukan 2A – A^T!

Penyelesaian :

2A = 2 2 3 A^T= 2 1

1 -1 3 -1

= 4 6

2 -2

2A – A^T= 4 6 _ 2 1

2 -2 3 -1

= 2 5

-1 1

6. Diketahui matriks – matriks berikut:

A = ( 2 1 4 1) dan B = ( -3 2 1 -2 )

Tentukan BA^T!

Penyelesaian :

BA^T = [ -3 2 1 -2] 2

= [ -6 + 2 + 4 -2 ]

= [ -2 ]

Diketahui u = 1 dan v = 0

-2 3

3 - 1

Tentukan u + v !

Penyelesaian :

u + v = 1 0 1

-2 + 3 = 1

3 -1 2

8. Tentukan sudut antara 2 vektor berikut: a = 2i – 5j + k dan b = i + j +3k !

Penyelesaian :

a . b = X₁.X₂+ Y₁.Y₂+Z₁.Z₂

= 2.1 + (-5).1 + 1.3

= 2 + (-5) + 3

= -3 + 3

= 0

Karena a.b = 0 maka sudutnya siku – siku.

9. Diketahui lingkaran dengan persamaan: x² – y² + 4x – 6y – 12 = 0, tentukan persamaan bayangan lingkaran jika dicerminkan terhadap sumbu x!

Penyelesaian :

P (-2, 3) P¹ (-2, -3)

Persamaan bayangan

(x + 2)² + (y + 3²) = 5²

x² + 4x + 4 + y²+ 6y + 9 – 25 = 0

x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0

10. Diketahui segitiga ABC dengan A (3, 2), B (-2, -1), dan C (1, 3). Tentukan pencerminan terhadap garis x = -2 !

Penyelesaian:

A (3, 2) A¹ (2.2 -3.2)

(1,2)

B (-2, -1) B¹ ( +2, -1)

(6, 1)

C (1,3) C¹ (4 -1, 3)

(3,3)